algebra

L'algebra è una branca della matematica che utilizza numeri, lettere e segni per fare riferimento alle diverse operazioni aritmetiche che vengono eseguite. Algebra è attualmente utilizzata come risorsa matematica nelle relazioni, nelle strutture e nella quantità. L'algebra elementare è la più comune poiché è quella che utilizza operazioni aritmetiche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione poiché, a differenza dell'aritmetica, utilizza simboli come x ed è la più comune invece di usare i numeri.

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Cos'è l'algebra

È il ramo che appartiene alla matematica, che consente di sviluppare e risolvere problemi aritmetici attraverso lettere, simboli e numeri, che a loro volta simboleggiano oggetti, soggetti o gruppi di elementi. Ciò consente di formulare operazioni che contengono numeri sconosciuti, chiamati sconosciuti e che rendono possibile lo sviluppo di equazioni.

Attraverso l'algebra, l'uomo è stato in grado di rendere conto in modo astratto e generico, ma anche più avanzato, attraverso calcoli più complessi, sviluppati da intellettuali matematici e fisici come Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) o Carl Friedrich Gauss (1777-1855), grazie ai cui contributi la definizione di algebra è conosciuta come è conosciuta oggi.

Tuttavia, secondo la storia dell'algebra, Diophanthus di Alessandria (data di nascita e morte sconosciuta, si ritiene che abbia vissuto tra il 3 ° e il 4 ° secolo), è stato davvero il padre di questo ramo, poiché ha pubblicato un'opera chiamata Arithmetica, che consisteva in tredici libri e in cui presentava problemi con equazioni che, sebbene non corrispondessero a un carattere teorico, erano adeguate per soluzioni generali. Ciò ha contribuito a definire cos'è l'algebra e, tra i molti dei contributi che ha apportato, è stata l'implementazione di simboli universali per rappresentare uno sconosciuto all'interno delle variabili del problema da risolvere.

L'origine della parola "algebra" deriva dall'arabo e significa "restauro" o "riconoscimento". Allo stesso modo ha il suo significato in latino, che corrisponde a "riduzione" e, sebbene non siano termini identici, significano la stessa cosa.

Come strumento aggiuntivo per lo studio di questo ramo, puoi contare sul calcolatore algebrico, che sono calcolatori che possono rappresentare graficamente le funzioni algebriche. Permettendo così di integrare, derivare, semplificare espressioni e funzioni grafiche, creare matrici, risolvere equazioni, tra le altre funzioni, sebbene questo strumento sia più adatto a un livello superiore.

All'interno dell'algebra c'è il termine algebrico, che è il prodotto di un fattore numerico di almeno una variabile di lettera ; in cui ogni termine può differenziare il suo coefficiente numerico, le sue variabili rappresentate da lettere e il grado del termine aggiungendo gli esponenti degli elementi letterali. Ciò significa che per il termine algebrico p5qr2, il coefficiente sarà 1, la sua parte letterale sarà p5qr2 e il suo grado sarà 5 + 1 + 2 = 8.

Che cos'è un'espressione algebrica

È un'espressione composta da costanti intere, variabili e operazioni algebriche. Un'espressione algebrica è composta da segni o simboli ed è composta da altri elementi specifici.

Nell'algebra elementare, oltre che nell'aritmetica, le operazioni algebriche utilizzate per risolvere i problemi sono: addizione o addizione, sottrazione o sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenziamento (moltiplicazione di diversi fattori volte) e archiviazione (operazione inversa di potenziamento).

I segni utilizzati in queste operazioni sono gli stessi dell'aritmetica per addizione (+) e sottrazione (-), ma per la moltiplicazione l'equis (x) è sostituito da un punto (.) Oppure possono essere rappresentati da segni di raggruppamento ( esempio: cd e (c) (d) sono equivalenti all'elemento “c” moltiplicato per l'elemento “d” o cxd) e nella divisione algebrica vengono utilizzati due punti (:) .

Vengono anche utilizzati segni di gruppo, come parentesi (), parentesi quadre [], parentesi graffe {} e trattini orizzontali. Vengono anche utilizzati segni di relazione, che sono quelli utilizzati per indicare che esiste una correlazione tra due dati e tra i più utilizzati sono quelli uguali a (=), maggiori di (>) e minori di (<) .

Inoltre, sono caratterizzati dall'uso di numeri reali (razionali, che includono positivo, negativo e zero; e irrazionali, che sono quelli che non possono essere rappresentati come frazioni) o complessi, che fanno parte del reale, formando un corpo algebricamente chiuso. .

Queste sono le principali espressioni algebriche

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Ci sono espressioni che fanno parte del concetto di cos'è l'algebra, queste espressioni sono classificate in due tipi: monomi, che sono quelli che hanno una sola somma; e polinomi, che hanno due (binomi), tre (trinomi) o più addend.

Alcuni esempi di monomi sarebbero: 3x, π

Mentre alcuni polinomi possono essere: 4 × 2 + 2x (binomiale); 7ab + 3a3 (trinomiale)

È importante ricordare che se la variabile (in questo caso "x") si trova nel denominatore o all'interno di una radice, le espressioni non sarebbero né monomi né polinomi.

Cos'è l'algebra lineare

Quest'area della matematica e dell'algebra è quella che studia i concetti di vettori, matrici, sistemi di equazioni lineari, spazi vettoriali, trasformazioni lineari e matrici. Come si può vedere, l'algebra lineare ha varie applicazioni.

La sua utilità varia dallo studio dello spazio delle funzioni, che sono quelle che sono definite da un insieme X (orizzontale) a un insieme Y (verticale) e sono applicate a spazi vettoriali o topologici ; equazioni differenziali, che mettono in relazione una funzione (valore che dipende dal secondo valore) con i suoi derivati ​​(tasso di variazione istantaneo che fa variare il valore di una determinata funzione); ricerca operativa, che utilizza metodi analitici avanzati per prendere decisioni valide; persino ingegneria .

Uno degli assi principali dello studio dell'algebra lineare si trova negli spazi vettoriali, che sono costituiti da un insieme di vettori (segmenti di una linea) e un insieme di scalari (numeri reali, costanti o complessi, che hanno magnitudo ma non il caratteristica vettore direzione).

I principali spazi vettoriali di dimensione finita sono tre:

  • Vettori in Rn, che rappresentano le coordinate cartesiane (asse orizzontale X e asse verticale Y).
  • Le matrici, che sono sistemi di espressioni rettangolari (rappresentati da numeri o simboli), sono caratterizzate da un numero di righe (di solito rappresentato dalla lettera "m") e da un numero di colonne (rappresentato dalla lettera "n"), e Sono utilizzati in scienze e ingegneria.
  • Lo spazio vettoriale dei polinomi nella stessa variabile, dato dai polinomi che non superano il grado 2, hanno coefficienti reali e si trovano sulla variabile "x".

Funzioni algebriche

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Si riferisce a una funzione che corrisponde a un'espressione algebrica, pur soddisfacendo anche un'equazione polinomiale (i suoi coefficienti possono essere monomi o polinomi). Sono classificati come: razionali, irrazionali e di valore assoluto.

  • Le funzioni razionali intere sono quelle espresse in :, dove "P" e "Q" rappresentano due polinomi e "x" la variabile, dove "Q" è diverso dal polinomio nullo e la variabile "x" non annulla il denominatore .
  • Le funzioni irrazionali, in cui l'espressione f (x) rappresenta un radicale, in questo modo :. Se il valore di "n" è pari, il radicale verrà definito in modo tale che g (x) sia maggiore di e uguale a 0, e anche il segno del risultato deve essere indicato, poiché senza di esso non sarebbe possibile parlare di una funzione, poiché Per ogni valore di "x" ci sarebbero due risultati; mentre se l'indice del radicale è dispari, quest'ultimo non è necessario, poiché il risultato sarebbe unico.
  • Funzioni di valore assoluto, in cui il valore assoluto di un numero reale sarà il suo valore numerico lasciando da parte il segno. Ad esempio, 5 sarà il valore assoluto di 5 e -5.

Esistono funzioni algebriche esplicite, in cui la variabile "y" sarà il risultato della combinazione della variabile "x" un numero limitato di volte, utilizzando operazioni algebriche (ad esempio, aggiunta algebrica), che includono l'elevazione alle potenze e all'estrazione delle radici; questo si tradurrebbe in y = f (x). Un esempio di questo tipo di funzione algebrica potrebbe essere il seguente: y = 3x + 2 o quale sarebbe lo stesso: (x) = 3x + 2, poiché "y" è espresso solo in termini di "x" .

D'altra parte, ci sono quelli impliciti, che sono quelli in cui la variabile "y" non è espressa solo in funzione della variabile "x", quindi y ≠ f (x) . Come esempio di questo tipo di funzione, abbiamo: y = 5x3y-2

Esempi di funzioni algebriche

Esistono almeno 30 tipi di funzioni algebriche, ma tra le più importanti abbiamo i seguenti esempi:

1. Funzione esplicita: ƒ () = sin

2. Funzione implicita: yx = 9 × 3 + x-5

3. Funzione polinomiale:

a) Costante: ƒ () = 6

b) Primo grado o lineare: ƒ () = 3 + 4

c) Secondo grado o quadratico: ƒ () = 2 + 2 + 1 o (+1) 2

d) Terzo grado o cubo: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9

4. Funzione razionale: ƒ

5. Funzione potenziale: ƒ () = - 1

6. Funzione radicale: ƒ () =

7. Funzione della sezione: ƒ () = se 0 ≤ ≤ 5

Qual è l'algebra di Baldor

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Quando si parla dell'algebra di Baldor, si fa riferimento a un'opera sviluppata dal matematico, professore, scrittore e avvocato Aurelio Baldor (1906-1978), pubblicata nel 1941. Nella pubblicazione del professore, che Nati a L'Avana, Cuba, sono riportati 5.790 esercizi, equivalenti a una media di 19 esercizi per test.

Baldor ha pubblicato altri lavori, come "Plane and Space Geometry", "Baldor Trigonometry" e "Baldor Arithmetic", ma quello che ha avuto il maggiore impatto nel campo di questo ramo è stato "Baldor's Algebra".

Questo materiale, tuttavia, è più raccomandato per il livello di istruzione intermedio (come il liceo), poiché per i livelli superiori (università) difficilmente servirebbe da complemento ad altri testi più avanzati e in base a quel livello.

La famosa copertina su cui appare il matematico, astronomo e geografo persiano musulmano Al-Juarismi (780-846), ha rappresentato confusione tra gli studenti che hanno utilizzato questo famoso strumento matematico, poiché si pensa che questo personaggio sia il suo autore Baldor.

Il contenuto dell'opera è diviso in 39 capitoli e un'appendice, che contiene tabelle di calcolo, una tabella delle forme di decomposizione dei fattori di base e tabelle di root e di potenza; e alla fine del testo ci sono le risposte agli esercizi.

All'inizio di ogni capitolo c'è un'illustrazione che riflette una revisione storica del concetto che sarà sviluppata e spiegata di seguito, e menziona personaggi storici di spicco nel campo, in base al contesto storico in cui si trova il riferimento al concetto. Questi personaggi vanno da Pitagora, Archimede, Platone, Diophantus, Ipazia ed Euclide, a René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck e Albert Einstein.

Cosa ha causato la fama di questo libro?

Il suo successo sta nel fatto che, oltre a una famosa opera letteraria obbligatoria nelle scuole superiori latinoamericane, è il libro più consultato e completo sull'argomento, per contenere una chiara spiegazione dei concetti e delle loro equazioni algebriche, nonché dati storici sugli aspetti studiare, in cui viene gestita la lingua algebrica.

Questo libro è l'iniziazione per eccellenza per gli studenti nel mondo algebrico, anche se per alcuni rappresenta una fonte di studi ispiratori e per altri è temuto, la verità è che è una bibliografia obbligatoria e ideale per una migliore comprensione degli argomenti trattati. .

Cos'è l'algebra booleana

Il matematico inglese George Boole (1815-1864) creò una serie di leggi e regole per eseguire operazioni algebriche, al punto che una parte di essa prese il nome. Per questo motivo, il matematico e logico inglese è considerato uno dei precursori dell'informatica .

In problemi logici e filosofici, le leggi sviluppate da Boole hanno permesso di semplificarle in due stati, che sono il vero stato o il falso stato, e queste conclusioni sono state raggiunte in modo matematico. Alcuni sistemi di controllo implementati, come contattori e relè, utilizzano componenti aperti e chiusi, con quello aperto in testa e quello chiuso no. Questo è noto come tutto o niente in quella che è l'algebra booleana.

Tali stati hanno una rappresentazione numerica di 1 e 0, dove 1 rappresenta il vero e 0 rappresenta il falso, il che semplifica il loro studio. Secondo tutto ciò, qualsiasi componente di tutti i tipi o nulla può essere rappresentato da una variabile logica, il che significa che può avere il valore 1 o 0, queste rappresentazioni sono conosciute come codice binario.

L'algebra booleana consente di semplificare i circuiti di commutazione logica o logica all'interno dell'elettronica digitale; Inoltre, è possibile eseguire calcoli e operazioni logiche dei circuiti in modo più esplicito.

Nell'algebra booleana ci sono tre procedure fondamentali, che sono: il prodotto logico, la porta AND o la funzione di intersezione; la somma logica, la porta OR o la funzione di unione; e negazione logica, NON gate o funzione di complemento. Esistono anche diverse funzioni ausiliarie: negazione del prodotto logico, gate NAND; negazione della somma logica, gate NOR; somma logica esclusiva, gate XOR; e negazione della somma logica esclusiva, gate XNOR.

All'interno dell'algebra booleana, ci sono una serie di leggi, tra cui:

  • Legge di cancellazione Chiamata anche legge di cancellazione, dice che in alcuni esercizi dopo un processo, il termine indipendente verrà annullato, in modo che (AB) + A = A e (A + B) .A = A.
  • Legge sull'identità . O dell'identità degli elementi 0 e 1, stabilisce che una variabile a cui viene aggiunto l'elemento null o 0, sarà uguale alla stessa variabile A + 0 = A allo stesso modo in cui la variabile viene moltiplicata per 1, il risultato sarà lo stesso A.1 = A.
  • Legge idempotente . Stabilisce che un'azione determinata può essere eseguita più volte e ottenere lo stesso risultato, in modo che se si ha una congiunzione A + A = A e se si ha uno spostamento AA = A.
  • Diritto commutativo . Questo si riferisce al fatto che l'ordine in cui si trovano le variabili non ha importanza, quindi A + B = B + A.
  • Legge sulla doppia negazione . O involuzione, afferma che se a una negazione viene data un'altra negazione, ne deriverà un positivo, in modo che (A ')' = A.
  • Teorema di Morgan . Questi affermano che la somma di alcune quantità di variabili negate in generale sarà uguale al prodotto di ciascuna variabile negata indipendentemente, quindi (A + B) '= A'.B' e (AB) '= A' + B ' .
  • Diritto distributivo . Stabilisce che quando vengono messe insieme alcune variabili, che verranno moltiplicate per un'altra variabile esterna, sarà la stessa che moltiplicare ciascuna variabile raggruppata per la variabile esterna, come: A (B + C) = AB + AC .
  • Legge sull'assorbimento . Dice che se una variabile A implica una variabile B, allora la variabile A coinvolgerà A e B e A sarà "assorbita" da B.
  • Diritto associativo . Nella disgiunzione o quando si mettono insieme più variabili, il risultato sarà lo stesso indipendentemente dal loro raggruppamento; così che nell'aggiunta A + (B + C) = (A + B) + C (il primo elemento più l'associazione degli ultimi due, è uguale all'associazione dei primi due più l'ultimo).

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